El problema de Monty Hall

El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado por el concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal(Hagamos un trato). , famoso entre 1963 y 1986. Su nombre proviene del presentador, Monty Hall.

En este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que se encuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, que sabe donde esta el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra que detrás de ella hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad de cambiar la puerta escogida ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

¿Cúal sería la opción correcta?
1. Quedarse con la puerta inicial
2. Cambiar a la otra puerta
3. Es irrelevante cambiar o no cambiar

A primera vista parece obvio que da igual (opción 3). La intuición nos dice que ahora, quitando una puerta sin premio, la puerta que nosotros escogimos tiene un 50 % de tener una cabra y por tanto da igual cambiar que no hacerlo. Pero no sería una paradoja o problema si fuera tan trivial, ¿verdad?.

Este problema suele generar bastante polémica (El problema original fue planteado en la columna de Marilyn vos Savant de la revista américana Parade en 1990 y su respuesta generó una avalancha de críticas).

Prueba con esta simulación del problema de Monty hall en Javascript.

Simulación

Simulación con javascript

El juego comienza con tres puertas cerradas. Solamente uno de ellas oculta el coche, mientras que en las otras están los burros.
Después de que elijas una puerta, una de las otras dos se descubre que está un burro.
Puedes elegir quedarte con tu primera selección o cambiar a la otra puerta cerrada que queda.
Tus resultados se guardan y puedes ver las probabilidades de ganar cambiando o no cambiando la puerta.
Hay también una opción para ver dónde está el premio y comprobar que el juego no te "engaña” Por supuesto, si estás jugando viendo la puerta del coche (¡tramposo!), los resultados de la probabilidad no serán válidos.

Mira el premio (¡Tramposo!)

Si has jugado unas cuántas veces, te darás cuenta que la intuición nos juega una mala pasada y nos hace equivocarnos en esta ocasión. La respuesta es que debemos cambiar la puerta para aumentar las probabilidades de ganar el coche de 1/3 ( cuando eliges la primera vez, la probabilidad de que acertar es una entre tres) a 2/3 (es erróneo pensar que es 1/2 ya que el presentador abre la puerta después de la elección del jugador, esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador) .

Simulación con excel

Aquí tienes una simulación (de 500 veces) con Excel, que calcula la probabilidad de ganar el juego.

 descarga el archivo »

Solución

Explicación gráfica

Desarrollamos todas las posibilidades, es la forma más fácil de entender pero a menudo tambien la mas pesada.

Si miramos las posibilidades de exito de cambiar o no cambiar, vemos que si no cambiamos tenemos 1/3 y si cambiamos tenemos 2/3. Aun resulta dificil de entender pero resulta indiscutible que es asi.

Explicación Intuitiva

Trataremos de verlo de esta forma:

Si no cambiamos las posibilidades de ganar son de 1/3, ya que escogemos una vez sin tener informacion y luego no cambiamos, de modo que el hecho de que el presentador abra una puerta no cambia nuestras probabilidades aunque parezca lo contrario.

Sin embargo si cambiamos:

• Escogemos puerta con cabra -> Presentador muestra la otra cabra -> cambiamos y GANAMOS
• Escogemos puerta con coche -> Presentador muestra la otra cabra -> cambiamos y PERDEMOS

y dado que hay 2 cabras y 1 coche las posibilidades de ganar son de 2/3.

Explicación matemática

Lo explicaremos matemáticamente, con probabilidades condicionadas. Esta es la forma más rigurosa pero probablemente la que peor se entienda.

Definimos cuidadosamente los siguientes sucesos . Asumimos que hay dos tipos de jugador, los que nunca cambian de puerta y los que cambian siempre; en este caso la pregunta se limita a ver que tipo de jugador tiene la mayor probabilidad de ganar el coche.

Suceso	Descripción
A	El jugador selecciona la puerta que contiene el coche en su selección inicial.
B	El jugador selecciona una puerta que contiene una cabra en su selección inicial.
G	El jugador gana el coche.

Estamos interesados en calcular P(G) para cada tipo de jugador.

Para calcular P(G), basta con notar que G=(G ∩ A) U (G ∩ B) ya que A ∩ B = Ø y A U B = Ω ( esto es equivalente a decir que {A,B} es una partición de Ω )

P(G)=P((G ∩ A) U (G ∩ B)) =
         P(G ∩ A) + P(G ∩ B)=
         P(G/A)P(A) + P(G/B)P(B)

En cualquier caso, dado que no tenemos ninguna razón para pensar lo contrario, diremos que P(A) = 1/3 y P(B) = 2/3 pues hay un coche y dos cabras.

Ahora debemos definir que tipo de jugador estamos estudiando.

• Jugador que nunca se cambia.
  En este caso P(G|A) = 1 y P(G|B) = 0 pues el jugador se queda con su selección inicial.
  Por lo tanto P(G) = 1/3.


• Jugador que siempre se cambia.
  En este caso P(G|A) = 0 y P(G|B) = 1 pues el jugador se cambia a la única puerta cerrada que queda (y sabemos que como el presentador sabe donde esta el coche, siempre mostrará una cabra).
  Por lo tanto P(G) = 2/3.

Claramente la mejor estrategia es cambiar siempre, pues la probabilidad efectiva de ganar es el doble de la correspondiente al jugador que no cambia nunca.

Replanteamiento del problema

Una forma más clara de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres puertas hubiese 100, y tras la elección original el presentador abriese 98 de las restantes para mostrar que tras de ellas hay cabras, si no cambiase su elección ganaría el coche sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces), mientras que si la cambia, ganaría si no lo ha escogido originalmente (y por tanto es lo que resta tras abrir las 98 puertas), ¡99 de cada 100 veces! ¿No es obvia la elección?

Allá tú - El concurso de las cajas-

"Allá tú" es un concurso televisivo de tele 5 en el que el concursante debe ir eliminando cajas que custodian sus compañeros, algunas de esas cajas contienen diferentes sumas de dinero, otras objetos cotidianos sin valor, el concursante debé ir desechando cajas hasta quedar con una sola, cuyo contenido determinará el premio que se llevará. El programa dispone de dos mecanismos para provocar cambios en la caja inicial que tiene el concursante en un momento dado: la compra de la caja del concursante o el intercambio de la caja del concursante.

Simplificando, podemos considerar que hay un solo premio grande entre todas las 22 cajas. Son tres o cuatro, pero el gordo gordo es el de los 600.000€.Si repetimos muchas veces el experimento de elegir una caja al azar de entre 22, la que contiene los 600.000€ saldrá más o menos una de cada 22 veces. Esto significa que si solo dependiéramos del azar, de cada 22 programas, en uno saldría el premio gordo. Cada mes y poco. Pero creo que el gran premio no sale tan a menudo, ¿verdad?

En el concurso de Monty Hall, hemos visto que la mejor estrategia es la de cambiar la puerta, pero Allá tú es un concurso mucho más complejo de estudiar la probabilidad, por lo que tarda en salir el premio gordo podemos pensar que lo mejor es quedarnos con la caja inicial que tiene una probabilidad de ser la de 600.000 € de 1/22= 0,0455 que equivale a un 4,54% aproximadamente, una probabilidad nada despreciable.
Pero sería simplificar mucho el estudio, ya que a lo largo de cada concurso se presentan múltiples situaciones distintas y no contamos con información suficiente para saber como actúan los directores de ¡Allá tú! pero si esta claro que disponen de diversas formas de manipular a los concursantes de modo que la elección de la caja que finalmente abren no sea un suceso dejado en manos del azar. Se puede pensar que el pobre concursante no es más que una víctima inconsciente de una manipulación eficaz e implacable que se encarga de mantener dentro de unos límites razonables el nivel de los premios que se reparten.

Una vuelta de tuerca al problema

Tenemos TRES concursantes, cada uno de los cuales ha elegido un cofre distinto. El presentador abre uno de los cofres vacíos, con lo que el concursante correspondiente queda eliminado. Ahora, los dos restantes, que conocen la solución al problema de Monty Hall, cambian sin dudar sus respectivos cofres para doblar sus posibilidades: pero esto es absurdo!

Entre ambos tienen siempre el 100% de posibilidades, es imposible que doblen sus probabilidades ambos a la vez. Por otro lado, no vemos que ninguno de los dos concursantes pueda tener ventaja alguna sobre el otro...

¿Qué sucede aquí?

Comentarios y solución en Tio Petros

Aplicación didáctica

Enlaces relacionados

• Video de la película 21 BLACKJACK
• Video de la serie numbers, es una escena cortada del episodio numbers 1x13, donde se ve como el protagonista realiza este juego matematico con sus alumnos.
• Who's Counting: The Monty Hall Problem por John Allen Paulos