LEY DE BENFORD
los números suelen comenzar más frecuentemente por «1» que por cualquier otro dígito
Una sorprendente teoría matemática llamada Ley de Benford predice que un conjunto determinado de números, aquellos cuyos primer dígito es 1 aparecerán de forma más frecuentemente que los números que empiezan por otros dígitos. La distribución de los primeros dígitos es bastante asimétrica, la frecuencia esperada para números que empiezan por 1 es casi del 30%, para el 2 es un poco más del 17%, para el 3 algo más del 12 % y para el resto disminuye.
Historia
Como en muchas otras ocasiones en matemáticas, la historia de está teoría es fascinante. Todo empezó por 1881 cuando el astrónomo Newcomb observo que en su libro de logaritmos estaban mucho más desgastadas las primeras páginas que las últimas...
Formulación matemática
En una distribución de Benford la probabilidad de que el primer dígito de X sea d es:
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Explicación:
¿Porqué funciona la ley de Benford en el mundo real?
Se me ocurren varios ejemplos que expliquen el hecho de que el 1 como primera cifra sea más frecuente que los otros números, sacados de la vida real...
Ejemplos:
¿Qué datos satisfacen la ley de Benford?
La Ley de Benford necesita datos que no sean totalmente aleatorios
ni muy condicionados, sino que estén más o menos en medio. Los
datos pueden ser de una gran variedad y suelen ser el resultado
típico de diversos procesos, con muchas influencias, como ocurre
con la mayoría de datos extraídos de fenómenos naturales, sociales
y económicos.
Nuestros propios ejemplos
Las cifras de población de pueblos y ciudades pueden variar desde decenas o cientos a miles o millones, y les afecta un gran abanico de factores, la intuición parece decir que sí va ser una disitribución de Benford. ¡Vamos a comprobarlo con la población de Navarra y España!
Aplicaciones
Como los números que empiezan por «1» aparecen tan a menudo, es posible descubrir a tramposillos (con los impuestos, con los deberes de clase, etc.) simplemente comprobando si los números que se inventan tienen esa desviación hacia los que comienzan por «1» más frecuentemente que los otros, o no.
Aplicación didáctica
- Una MINIQUEST de descubrimiento sobre la Ley de Benford
- Actividad para realizar en clase sobre la Ley de Benford
Simulación
Una interesante demostración visual: Significant Figure Distribution Generator,
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2008